Suit la force des câbles le long d’une poutre continue en caisson selon la SIA 262:2025, de la mise en tension au temps infini, puis les charges équivalentes, les moments isostatiques et hyperstatiques de la précontrainte, les contraintes, la limitation de la fissuration et les flèches. Chaque étape présente sa formule et le chiffre de la norme dont elle découle.
Ce qui est vérifié
- Frottement et recul : Pmax = σp,max·Ap, Pmax·e^(−μ·(φx + Δφ·x)), chiffre 4.1.5.3.3, équation (24), et la longueur ls affectée par le recul, pour laquelle l’aire comprise entre la courbe de frottement et son image symétrique est égale à Δls·Ep·Ap (chiffre 4.1.5.3.1). Les allongements ΔlL et ΔlR = ∫ P(x)/(Ep·Ap) dx.
- Raccourcissement élastique : Δσel = j·Ep/Ecm(t)·σc,p, avec j = (nP − 1)/(2·nP), et σp0 ≤ min(0.75·fpk ; 0.85·fp0,1k), chiffre 4.1.5.2.2, équation (22).
- Pertes à long terme dans les sections caractéristiques : la hauteur relative h0 = 2·Ac/u (chiffre 3.1.2.7.8), la relaxation Δσpr = 3·ρ1000·σp0 (chiffre 3.3.2.7.1), le fluage, le retrait et la relaxation combinés selon l’EN 1992-1-1 5.10.6, équation (5.46), et σp∞ ≥ 0.45·fpk, chiffre 4.1.5.2.3.
- Charges équivalentes au temps infini : les charges ascendantes P·|y″| le long des paraboles basses, la charge descendante P/Rmin sur les contre-courbes, les forces FH et FV et le moment ME aux ancrages, ainsi que la part de g1 + g2 équilibrée.
- Moments de précontrainte, après la mise en tension et au temps infini : les moments isostatiques Miso,0 = −P0·e et Miso,∞ = −P∞·e, les moments hyperstatiques Mhyp,0 et Mhyp,∞ tirés des réactions d’appui de la poutre continue, leurs sommes MP,0 et MP,∞, et MQP = Mg + MP,∞.
- Contraintes à la mise en tension : |σc| ≤ 0.6·fck(t), chiffre 4.1.5.2.4, équation (23), sous P0 et le poids propre.
- Contraintes en service sur les deux faces, sous les cas de charge quasi permanent et fréquent.
- Limitation de la fissuration : σs,adm = √(9·Es·fctm·wnom/Øs) ≤ fyk, chiffre 4.4.2.3.4, équation (102), avec wnom tiré du tableau 17, et fct,eff = kt·fctm pour chaque dalle, chiffre 4.4.1.3, équations (99) et (100).
- Flèches aux points bas : wg, wP, wc, wcφ = wc·(1 + φ), chiffre 4.4.3.2.4, équation (103), et wfr. Vérifications : |wcφ| et wfr, comparées aux limites que vous saisissez.
Ce que vous saisissez et ce que vous obtenez
Vous saisissez les travées et les deux sections transversales, le béton à 28 jours et à la mise en tension, les charges permanentes, le modèle de charge 1 de la SIA 261 avec ψ1,q et ψ1,Q, l’acier de précontrainte, les câbles du pont et le tracé du câble résultant. Pour la mise en tension : σp,max, une seule extrémité ou les deux, μ, Δφ, Δls et nP. Puis φ, εcs,∞ et ρ1000, les exigences relatives à la fissuration, les barres des dalles et les limites de flèche l/700 et l/500, ou vos propres valeurs.
Vous obtenez la force le long du pont à chaque étape, les pertes dans les sections caractéristiques, les moments de précontrainte, ainsi que chaque vérification des contraintes et des flèches avec son taux d’utilisation et son chiffre. Avec l’abonnement Basic, les résultats peuvent être imprimés sous forme de note de calcul A4.
Hypothèses et limites
- Le tracé est celui du module de tracé de la précontrainte, à partir des mêmes données.
- Les autres charges permanentes agissent après la mise en tension, sur la poutre déjà précontrainte.
- Le cas de charge quasi permanent ne comprend que les charges permanentes et la précontrainte : ψ2 = 0 pour le trafic routier.
- Le fluage reste proportionnel à la contrainte en dessous de 0.4·fcm (chiffre 3.1.2.6.3).
- Les moments hyperstatiques sont linéaires entre les appuis et calculés avec la rigidité de chaque section. Ils agissent aussi sur la résistance.
- Poutre non fissurée : l’équation (103) est valable tant que les moments restent inférieurs au moment de fissuration. Les flèches sont rapportées aux appuis.
- En l’absence de traction sur les deux faces sous les cas de charge quasi permanent et fréquent, l’armature minimale contre la fissuration peut être omise (chiffre 4.4.2.3.5).
Exemple de calcul
La poutre à trois travées de 36, 45 et 36 m avec dix câbles de 19 torons, mis en tension depuis les deux extrémités à 1 394 N/mm², μ = 0.2, Δls = 6 mm, φ = 2.0, εcs,∞ = 0.30 ‰ et des exigences accrues relatives à la fissuration. Toutes les vérifications sont satisfaites. Les résultats ci-dessous sont ceux du module pour son exemple de calcul, calculés lors de la génération de cette page.
Données| Donnée | Valeur | Réf. |
|---|
| Nombre de travées n | 3 | |
|---|
| Longueurs des travées | Travées de rive identiques, travées intérieures identiques | |
|---|
| Travées de rive le | 36 m | |
|---|
| Travées intérieures li | 45 m | |
|---|
| Section transversale le long du pont | Une section plus épaisse sur les appuis intermédiaires | |
|---|
| Largeur du tablier B | 12.5 m | |
|---|
| Hauteur de la poutre h | 2400 mm | |
|---|
| Épaisseur de la dalle supérieure tt | 280 mm | |
|---|
| Longueur de chaque porte-à-faux bc | 3.0 m | |
|---|
| Épaisseur d’une âme bw | 450 mm | |
|---|
| Largeur de la dalle inférieure binf | 5.0 m | |
|---|
| Épaisseur de la dalle inférieure tb | 250 mm | |
|---|
| Épaisseur de la dalle supérieure tt,s | 280 mm | |
|---|
| Épaisseur d’une âme bw,s | 550 mm | |
|---|
| Épaisseur de la dalle inférieure tb,s | 450 mm | |
|---|
| Longueur de cette section de chaque côté d’un appui ls | 8 m | |
|---|
| Valeur caractéristique de la résistance à la compression fck | 40 N/mm² | |
|---|
| Valeur moyenne de la résistance à la compression sur cylindre fcm | 48 N/mm² | |
|---|
| Valeur moyenne de la résistance à la traction fctm | 3.5 N/mm² | |
|---|
| Module d’élasticité moyen Ecm | 36000 N/mm² | |
|---|
| Résistance à la compression à la mise en tension fck(t) | 30 N/mm² | § 4.1.5.2.4 |
|---|
| Module d’élasticité à la mise en tension Ecm(t) | 33000 N/mm² | |
|---|
| Poids volumique du béton armé γ | 25 kN/m³ | |
|---|
| Bordures et parapets, des deux côtés g2,e | 10 kN/m | |
|---|
| Glissières de sécurité, des deux côtés g2,b | 2 kN/m | |
|---|
| Largeur du revêtement Br | 10.5 m | |
|---|
| Épaisseur du revêtement er | 100 mm | |
|---|
| Poids volumique du revêtement γr | 24 kN/m³ | |
|---|
| Largeur d’une voie conventionnelle wl | 3 m | |
|---|
| Nombre de voies conventionnelles nl | 3 | |
|---|
| Voie 1 : charge uniformément répartie qk1 | 9 kN/m² | |
|---|
| Voie 1 : charge d’un essieu du tandem Qk1 | 300 kN | |
|---|
| Voie 2 : charge uniformément répartie qk2 | 2.5 kN/m² | |
|---|
| Voie 2 : charge d’un essieu du tandem Qk2 | 200 kN | |
|---|
| Voie 3 : charge uniformément répartie qk3 | 2.5 kN/m² | |
|---|
| Voie 3 : charge d’un essieu du tandem Qk3 | 100 kN | |
|---|
| Charge uniformément répartie sur l’aire résiduelle qkr | 2.5 kN/m² | |
|---|
| Coefficient d’ajustement des charges uniformément réparties αq | 0.9 | |
|---|
| Coefficient d’ajustement des tandems αQ | 0.9 | |
|---|
| Coefficient ψ1 des charges de trafic uniformément réparties ψ1,q | 0.4 | |
|---|
| Coefficient ψ1 des tandems ψ1,Q | 0.75 | |
|---|
| Résistance à la traction de l’acier de précontrainte fpk | 1860 N/mm² | |
|---|
| Limite conventionnelle d’élasticité de l’acier de précontrainte fp0,1k | 1640 N/mm² | |
|---|
| Module d’élasticité de l’acier de précontrainte Ep | 195000 N/mm² | |
|---|
| Aire d’un toron Ap1 | 150 mm² | |
|---|
| Torons par câble ns | 19 | |
|---|
| Câbles dans le pont nT | 10 | |
|---|
| Hauteur des ancrages aux extrémités yE | 1300 mm | |
|---|
| Hauteur des câbles aux points bas yp,f | 250 mm | |
|---|
| Hauteur des câbles sur les appuis intermédiaires yp,s | 2150 mm | |
|---|
| Point bas dans les travées de rive, depuis l’appui d’extrémité ξ | 0.4 | |
|---|
| Rayon minimal du câble Rmin | 6.5 m | |
|---|
| Contrainte au vérin σp,max | 1394 N/mm² | |
|---|
| Câbles mis en tension | Depuis les deux extrémités du pont | |
|---|
| Coefficient de frottement μ | 0.2 | § 4.1.5.3.3 |
|---|
| Déviation angulaire parasite Δφ | 0.005 rad/m | § 4.1.5.3.3 |
|---|
| Recul à l’ancrage (rentrée des clavettes) Δls | 6 mm | § 4.1.5.3.1 |
|---|
| Câbles mis en tension l’un après l’autre nP | 10 | |
|---|
| Coefficient de fluage final φ | 2.0 | § 3.1.2.6.2 |
|---|
| Retrait spécifique final εcs,∞ | 0.30 ‰ | § 3.1.2.7.6 |
|---|
| Perte par relaxation après 1000 heures ρ1000 | 2.5 % | § 3.3.2.7.1 |
|---|
| Exigences relatives à la fissuration | Accrues | § 4.4.2.2.3 |
|---|
| Module d’élasticité de l’acier d’armature passive Es | 205000 N/mm² | |
|---|
| Limite d’écoulement de l’acier d’armature passive fyk | 500 N/mm² | |
|---|
| Diamètre des barres des dalles Øs | 16 mm | |
|---|
| Flèche à long terme sous charges quasi permanentes : limite l/… l/wqp | 700 | |
|---|
| Flèche sous les charges de trafic fréquentes : limite l/… l/wfr | 500 | |
|---|
Calcul : Le pont| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Longueur totale2·le + (n − 2)·li | L = 117.00 m | |
|---|
Calcul : Les deux sections transversales| Étape | 1En travée | 2Sur les appuisls = 8.0 m de chaque côté | Réf. |
|---|
| Aire Ac m²contour moins la cellule | 6.455 | 7.659 | |
|---|
| Hauteur du centre de gravité yG mmau-dessus de la face inférieure | 1’559 | 1’410 | |
|---|
| Moment d’inertie Ic m⁴ | 5.089 | 6.294 | |
|---|
| Hauteur relative de l’élément de construction h0 mm2·Ac/u, u extérieur et cellule | 304 | 367 | |
|---|
Calcul : Charges permanentes| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Poids propre en travéeγ·Ac | g1,f = 161.4 kN/m | |
|---|
| Poids propre sur les appuisγ·Ac,s | g1,s = 191.5 kN/m | |
|---|
| Autres charges permanentesg2,e + g2,b + Br·er·γrelles agissent après la mise en tension, sur la poutre déjà précontrainte | g2 = 37.2 kN/m | |
|---|
Calcul : Trafic routier| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Charge de trafic uniformément répartie sur la poutreαq·(Σ qk,i·wl + qkr·br) | qk = 41.2 kN/m | |
|---|
| Ensemble des tandemsαQ·Σ 2·Qk,ideux essieux espacés de 1.2 m | Qk = 1’080 kN | |
|---|
| Charge uniformément répartie fréquente | ψ1,q·qk = 16.5 kN/m | |
|---|
| Tandems fréquents | ψ1,Q·Qk = 810 kN | |
|---|
Calcul : Acier de précontrainte| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Acier de précontrainte de tous les câblesnT·ns·Ap1 | Ap = 28’500 mm² | |
|---|
| Contrainte maximale après la mise en tensionmin(0.75·fpk; 0.85·fp0,1k) | σp,lim = 1’394 N/mm² | § 4.1.5.2.2 (22) |
|---|
Calcul : Frottement et recul à la mise en tension| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Force au vérinσp,max·Ap | Pmax = 39.73 MN | |
|---|
| Déviation angulaire d’une extrémité à l’autred’après le tracé | Σφ = 1.620 rad | |
|---|
| Force à la rencontre des courbes de frottement des deux vérinsPmax·e^(−μ·(φx + Δφ·x))en x = 58.5 m | Pmin = 31.87 MN | § 4.1.5.3.3 (24) |
|---|
| Perte par frottement à cet endroit | ΔPμ/Pmax = 19.8 % | |
|---|
| Longueur affectée par le recul à l’ancrage gaucheaire entre la courbe de frottement et son image symétrique = Δls·Ep·Ap | ls = 17.22 m | § 4.1.5.3.1 |
|---|
| Force à l’ancrage gauche après le recul | Pa = 35.78 MN | |
|---|
| Allongement au vérin gauche∫ P(x)/(Ep·Ap) dxmesuré sur le chantier pour contrôler la mise en tension | ΔlL = 377 mm | |
|---|
| Allongement au vérin droit | ΔlR = 377 mm | |
|---|
Calcul : Force après ancrage et raccourcissement élastique| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Coefficient de perte par raccourcissement élastique(nP − 1)/(2·nP) | j = 0.450 | |
|---|
| Perte maximale par raccourcissement élastiquej·Ep/Ecm(t)·σc,p | Δσel = 32.5 N/mm² | |
|---|
| Contrainte dans les câbles après la mise en tensionσp0 ≤ σp,lim | η = 0.928 · VérifiéTaux d’utilisation : 93 % | § 4.1.5.2.2 (22) |
|---|
Calcul : Hauteur relative et coefficients| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Hauteur relative de la poutre2·Ac/upour lire φ dans la figure 2 et β(t − ts) dans la figure 3 | h0 = 304 mm | § 3.1.2.7.8 |
|---|
Calcul : Pertes aux sections caractéristiques| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Contrainte finale dans les câbles non inférieure à 0.45·fpk0.45·fpk ≤ σp∞ | η = 0.877 · VérifiéTaux d’utilisation : 88 % | § 4.1.5.2.3 |
|---|
| Étape | 1Travée 1, point basx = 14.3 m | 2Appui 1x = 36.0 m | 3Travée 2, point basx = 58.5 m | 4Appui 2x = 81.0 m | 5Travée 3, point basx = 102.8 m | Réf. |
|---|
| Contrainte après ancrage et raccourcissement élastique σp0 N/mm² | 1’281 | 1’201 | 1’103 | 1’201 | 1’281 | |
|---|
| Contrainte dans le béton au niveau des câbles, quasi permanente σc,QP N/mm²compression positive | 10.98 | 6.25 | 4.89 | 6.25 | 10.98 | |
|---|
| Relaxation, à long terme Δσpr N/mm²3·ρ1000·σp0 | 96.1 | 90.1 | 82.7 | 90.1 | 96.1 | § 3.3.2.7.1 |
|---|
| Fluage, retrait et relaxation ensemble Δσp,c+s+r N/mm²(εcs·Ep + 0.8·Δσpr + Ep/Ecm·φ·σc,QP)/(1 + Ep/Ecm·Ap/Ac·(1 + Ac·e²/Ic)·(1 + 0.8·φ)) | 212.4 | 182.3 | 148.4 | 182.3 | 212.4 | EN 1992-1-1 5.10.6 (5.46) |
|---|
| Contrainte au temps infini σp∞ N/mm² | 1’069 | 1’018 | 954 | 1’018 | 1’069 | |
|---|
| Perte rapportée à la contrainte au vérin Δσ/σp,max % | 23.3 | 26.9 | 31.5 | 26.9 | 23.3 | |
|---|
Calcul : Charges équivalentes de la précontrainte au temps infini| Étape | 1Travée 1 | 2Travée 2 | 3Travée 3 | Réf. |
|---|
| Force moyenne des câbles P∞,m MN | 30.50 | 27.89 | 30.50 | |
|---|
| Charge ascendante, à gauche du point bas uL kN/mP·|y″| : 2·P·Δy/(D·(D − a)), ou 2·P·Δy/D² vers une extrémité | 308.8 | 220.1 | 262.3 | |
|---|
| Charge ascendante, à droite du point bas uR kN/m | 262.3 | 220.1 | 308.8 | |
|---|
| Charge descendante sur l’appui gauche us,L kN/mP/Rmin sur la longueur a | · | 4’290 | 4’692 | |
|---|
| Charge descendante sur l’appui droit us,R kN/m | 4’692 | 4’290 | · | |
|---|
| Charge compensée u/(g1 + g2) %charge ascendante moyenne rapportée à la charge permanente | 144 | 111 | 144 | |
|---|
Calcul : Forces aux ancrages| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Force horizontale à l’ancrage gauche, temps infiniP·cos θE | FH = 29.74 MN | |
|---|
| Force verticale à l’ancrage gaucheP·sin θEpente du câble θE = 8.30° | FV = 4.337 MN | |
|---|
| Moment de la force d’ancrage par rapport au centre de gravité−P·eE | ME = -7.79 MNm | |
|---|
Calcul : Moments de précontrainte| Étape | 1Travée 1, point basx = 14.3 m | 2Appui 1x = 36.0 m | 3Travée 2, point basx = 58.5 m | 4Appui 2x = 81.0 m | 5Travée 3, point basx = 102.8 m | Réf. |
|---|
| Isostatique, après la mise en tension Miso,0 MNm−P0·e | -47.8 | 25.3 | -41.1 | 25.3 | -47.8 | |
|---|
| Hyperstatique, après la mise en tension Mhyp,0 MNmd’après les réactions d’appui de la poutre continue | 10.0 | 25.3 | 25.3 | 25.3 | 10.0 | |
|---|
| Total, après la mise en tension MP,0 MNmMiso + Mhyp | -37.8 | 50.6 | -15.9 | 50.6 | -37.8 | |
|---|
| Isostatique, temps infini Miso,∞ MNm−P∞·e | -39.9 | 21.5 | -35.6 | 21.5 | -39.9 | |
|---|
| Hyperstatique, temps infini Mhyp,∞ MNm | 8.5 | 21.6 | 21.6 | 21.6 | 8.5 | |
|---|
| Total, temps infini MP,∞ MNm | -31.3 | 43.1 | -14.0 | 43.1 | -31.3 | |
|---|
| Charges permanentes Mg MNmg1 + g2 | 17.1 | -35.5 | 15.8 | -35.5 | 17.1 | |
|---|
| Charges permanentes et précontrainte, temps infini MQP MNmMg + MP,∞ | -14.2 | 7.6 | 1.7 | 7.6 | -14.2 | |
|---|
Calcul : Contraintes à la mise en tension| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Compression dans le béton à la mise en tension|σc| ≤ 0.6·fck(t) | η = 0.724 · VérifiéTaux d’utilisation : 72 % | § 4.1.5.2.4 (23) |
|---|
| Traction maximale à la mise en tensionface inférieure en x = 36.9 m | σct,0 = 0.63 N/mm² | |
|---|
Calcul : Contraintes en service| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Compression maximale, quasi permanenteface inférieure en x = 12.8 m | σc,QP = -9.10 N/mm² | |
|---|
| Traction maximale, quasi permanente, face supérieureen x = 11.3 m | σt,QP = -2.30 N/mm² | |
|---|
| Traction maximale, quasi permanente, face inférieureen x = 80.1 m | σb,QP = -1.58 N/mm² | |
|---|
| Traction maximale, fréquente, face supérieureen x = 104.3 m | σt,fr = -2.01 N/mm² | |
|---|
| Traction maximale, fréquente, face inférieureen x = 58.5 m | σb,fr = -1.23 N/mm² | |
|---|
| Compression maximale, fréquente | σc,fr = -9.72 N/mm² | |
|---|
Calcul : Limitation de la fissuration| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Contrainte admissible dans les barres à la fissuration√(9·Es·fctm·wnom/Øs) ≤ fykwnom = 0.5 mm pour accrues (exigences, tableau 17) | σs,adm = 449 N/mm² | § 4.4.2.3.4 (102) |
|---|
| Valeur effective de la résistance à la traction, dalle supérieurekt·fctm, kt = 1/(1 + 0.5·t)t = 280 mm, kt = 0.877 | fct,eff = 3.07 N/mm² | § 4.4.1.3 (99) (100) |
|---|
| Valeur effective de la résistance à la traction, dalle inférieurekt·fctm, kt = 1/(1 + 0.5·t)t = 250 mm, kt = 0.889 | fct,eff = 3.11 N/mm² | § 4.4.1.3 (99) (100) |
|---|
Calcul : Flèches aux points bas (positives vers le bas)| Étape | Valeur | Réf. |
|---|
| Flèche à long terme sous les charges quasi permanentes|wcφ| ≤ l/700 | η = 0.537 · VérifiéTaux d’utilisation : 54 % | |
|---|
| Flèche sous les charges de trafic fréquenteswfr ≤ l/500 | η = 0.069 · VérifiéTaux d’utilisation : 7 % | |
|---|
| Étape | 1Travée 1point bas | 2Travée 2point bas | 3Travée 3point bas | Réf. |
|---|
| Charges permanentes, élastique wg mmEcm·Ic de chaque section | 9.1 | 10.6 | 9.1 | |
|---|
| Précontrainte au temps infini, élastique wP mmnégative : vers le haut | -18.3 | -7.3 | -18.3 | |
|---|
| Quasi permanente, élastique wc mmwg + wP | -9.2 | 3.3 | -9.2 | |
|---|
| Quasi permanente, à long terme wcφ mmwc·(1 + φ) | -27.6 | 9.9 | -27.6 | § 4.4.3.2.4 (103) |
|---|
| Trafic fréquent wfr mmψ1,q·qk sur les travées qui font fléchir le point + ψ1,Q·Qk à sa position la plus défavorable | 4.5 | 6.2 | 4.5 | |
|---|
| Degré de compensation |wP/wg| %flèche ascendante de la précontrainte rapportée à la flèche descendante des charges permanentes | 202 | 69 | 202 | |
|---|
Comment ce module est vérifié
Contrôlé chiffre par chiffre au regard de la SIA 262:2025 et vérifié à l’aide de calculs indépendants utilisés sur des projets réels, avant sa publication.
Questions
À quoi sert l’allongement au vérin ?
Il est mesuré sur le chantier pour contrôler la mise en tension. Dans l’exemple de calcul, il vaut 377.2 mm à chaque vérin.
Quelle est la perte par frottement dans l’exemple de calcul ?
19.8 % à l’endroit où les courbes de frottement des deux vérins se rejoignent, à x = 58.5 m, avec Pmin = 31.87 MN.
Quel abonnement comprend ce module ?
L’abonnement Basic, avec sa note de calcul.
Voir aussi
Norme : SIA 262:2025 · Page mise à jour : 8 novembre 2026