Analyse un cadre quelconque dans un plan vertical, nœud par nœud ou à partir de ses travées et de ses étages : les réactions, les moments de flexion, les efforts tranchants et normaux et les déplacements, avec barres inclinées et à goussets, articulations, ressorts, tassements, variations de température et les charges variables dans leur disposition la plus défavorable. Chaque étape présente sa formule.

Ce qui est vérifié

Hyperstaticité : 3m + r − (3j + c), m étant le nombre de barres, r le nombre de réactions (ressorts compris), j le nombre de nœuds et c le nombre de conditions aux articulations. Au-delà de zéro, les efforts dépendent de la rigidité, et les tassements et la température produisent des efforts.
Charges : les totaux des charges telles que saisies ΣF_x et ΣF_y, et ΣF_x,var / ΣF_y,var pour les charges en disposition la plus défavorable, toutes présentes.
Disposition la plus défavorable : chacune des k charges variables peut être présente ou absente. Les N_arr = 2ᵏ dispositions sont toutes couvertes par k + 1 analyses, et les résultats deviennent une enveloppe.
Réactions d’appui : R_x, R_y et M_R dues aux charges telles que saisies, avec leurs valeurs maximales et minimales, et les contrôles d’équilibre ΣR_x = −ΣF_x et ΣR_y = ΣF_y.
Aux nœuds et aux extrémités des barres : les déplacements et les rotations, ainsi que l’effort normal (positif en traction), l’effort tranchant et le moment de flexion (positif avec traction sur la face droite), maximaux et minimaux.
Le long de chaque barre : M_max et M_min avec leurs positions, le plus grand effort tranchant, N_max et N_min, la flèche w_rel depuis la droite passant par les extrémités déplacées, et l/|w_rel|.
Vérifications, facultatives : |w_rel| ≤ l/n_lim pour chaque barre, et |u_x| ≤ h/n_h pour chaque nœud situé au-dessus de l’appui le plus bas.
Sections choisies, jusqu’à quatre, avec l’enveloppe.

Ce que vous saisissez et ce que vous obtenez

Vous décrivez le cadre nœud par nœud, ou par travées et étages avec une section pour les colonnes et une pour les poutres. Vous saisissez E, le même pour toutes les barres, et si le raccourcissement axial des barres est pris en compte. Pour chaque nœud : ses coordonnées x et y, l’appui (libre, articulé, encastré, deux types d’appui mobile, deux types d’appui guidé, ou ressorts selon x, selon y et en rotation) et ses tassements. Pour chaque barre : ses nœuds de début et de fin, I, A, une section constante ou des goussets droits ou paraboliques, et des extrémités rigides ou articulées.

Charges : jusqu’à huit charges réparties, vers le bas par mètre de barre ou en plan, horizontales par mètre de hauteur, ou perpendiculaires à la barre, uniformes ou variables ; jusqu’à huit forces sur les barres ; jusqu’à six charges aux nœuds ; jusqu’à quatre charges de température, uniformes ou différentes sur les deux faces. Chacune est telle que saisie ou en cas le plus défavorable. Puis les limites et les sections choisies.

Vous obtenez les diagrammes, tous les résultats ci-dessus et la mention « Satisfaite » ou « Non satisfaite » pour chaque vérification.

Hypothèses et limites

Des barres droites dans un plan vertical. Analyse linéaire du premier ordre : valeurs caractéristiques ou de dimensionnement, selon vos besoins. Les sens vers le bas et vers la droite sont positifs, les moments aux nœuds dans le sens horaire.
Pour des barres de matériaux différents, saisissez un seul E et multipliez I et A des autres barres par le rapport des modules.
Dans un gousset, la largeur est constante, de sorte que I croît avec le cube de la hauteur ; l’aire est admise constante.
Si le raccourcissement axial est négligé, aucune aire n’est demandée et aucune variation uniforme de température ne peut être appliquée.
Une différence de température entre les faces donne la courbure libre α_T·ΔT_d/h, h étant la hauteur de la barre.
Pour relier plusieurs barres par une seule rotule, donnez à chacune d’elles une articulation à ce nœud, ou à toutes sauf une.
Une analyse seulement : aucune barre n’est vérifiée.

Exemple de calcul

Un cadre à deux travées de 16 m de largeur et 6 m de hauteur, avec E = 32 000 N/mm² : des colonnes encastrées à x = 0 et 16 m et une colonne articulée à 10 m, dont la base se tasse de 8 mm ; une poutre de 10 m avec des goussets paraboliques de 2 m de longueur aux deux extrémités et une poutre de 6 m ; la colonne de droite articulée en tête. Les poutres portent des charges de 30 kN/m dans la disposition saisie et 20 kN/m en disposition la plus défavorable ; également en disposition la plus défavorable, 4.5 kN/m de vent sur la colonne de gauche, 15 kN horizontalement en sa tête, et sur la grande poutre un réchauffement de 15 °C avec 10 °C entre ses faces. Limites l/300 et h/300. Toutes les vérifications sont satisfaites. Les résultats ci-dessous sont ceux du module pour son exemple de calcul, calculés lors de la génération de cette page.

Données
Donnée	Valeur	Réf.
Description du cadre	Nœud par nœud
Nombre de nœuds j	6
Nombre de barres m	5
Module d’élasticité E	32000 N/mm²
Raccourcissement axial des barres	Pris en compte
Coordonnée horizontale x₁	0 m
Coordonnée verticale y₁	0 m
Appui	Encastré
Déplacement horizontal imposé de l’appui Δ_x,1	0 mm
Tassement vertical Δ_y,1	0 mm
Coordonnée horizontale x₂	0 m
Coordonnée verticale y₂	6 m
Appui	Libre (nœud)
Coordonnée horizontale x₃	10 m
Coordonnée verticale y₃	6 m
Appui	Libre (nœud)
Coordonnée horizontale x₄	10 m
Coordonnée verticale y₄	0 m
Appui	Articulé
Déplacement horizontal imposé de l’appui Δ_x,4	0 mm
Tassement vertical Δ_y,4	8 mm
Coordonnée horizontale x₅	16 m
Coordonnée verticale y₅	6 m
Appui	Libre (nœud)
Coordonnée horizontale x₆	16 m
Coordonnée verticale y₆	0 m
Appui	Encastré
Déplacement horizontal imposé de l’appui Δ_x,6	0 mm
Tassement vertical Δ_y,6	0 mm
Nœud de début	Nœud 1
Nœud de fin	Nœud 2
Moment d’inertie I₁	7200 10⁶ mm⁴
Aire de la section A₁	240000 mm²
Section le long de la barre	Constante
Liaison à ses extrémités	Rigide aux deux extrémités
Nœud de début	Nœud 2
Nœud de fin	Nœud 3
Moment d’inertie I₂	24300 10⁶ mm⁴
Aire de la section A₂	360000 mm²
Section le long de la barre	Goussets paraboliques
Longueur du gousset au début a_A,2	2 m
Moment d’inertie au début I_A,2	48600 10⁶ mm⁴
Longueur du gousset à la fin a_B,2	2 m
Moment d’inertie à la fin I_B,2	48600 10⁶ mm⁴
Liaison à ses extrémités	Rigide aux deux extrémités
Nœud de début	Nœud 4
Nœud de fin	Nœud 3
Moment d’inertie I₃	7200 10⁶ mm⁴
Aire de la section A₃	240000 mm²
Section le long de la barre	Constante
Liaison à ses extrémités	Rigide aux deux extrémités
Nœud de début	Nœud 3
Nœud de fin	Nœud 5
Moment d’inertie I₄	24300 10⁶ mm⁴
Aire de la section A₄	360000 mm²
Section le long de la barre	Constante
Liaison à ses extrémités	Rigide aux deux extrémités
Nœud de début	Nœud 6
Nœud de fin	Nœud 5
Moment d’inertie I₅	7200 10⁶ mm⁴
Aire de la section A₅	240000 mm²
Section le long de la barre	Constante
Liaison à ses extrémités	Articulation à la fin
Nombre de charges réparties	5
On	Barre 2
Sens	Vers le bas, par mètre de barre
Étendue	Toute la barre
Intensité au début q_a,1	30 kN/m
Intensité à la fin q_b,1	30 kN/m
Disposition	Telles que saisies
On	Barre 4
Sens	Vers le bas, par mètre de barre
Étendue	Toute la barre
Intensité au début q_a,2	30 kN/m
Intensité à la fin q_b,2	30 kN/m
Disposition	Telles que saisies
On	Barre 2
Sens	Vers le bas, par mètre de barre
Étendue	Toute la barre
Intensité au début q_a,3	20 kN/m
Intensité à la fin q_b,3	20 kN/m
Disposition	Cas le plus défavorable
On	Barre 4
Sens	Vers le bas, par mètre de barre
Étendue	Toute la barre
Intensité au début q_a,4	20 kN/m
Intensité à la fin q_b,4	20 kN/m
Disposition	Cas le plus défavorable
On	Barre 1
Sens	Horizontale (vers la droite), par mètre de hauteur
Étendue	Toute la barre
Intensité au début q_a,5	4.5 kN/m
Intensité à la fin q_b,5	4.5 kN/m
Disposition	Cas le plus défavorable
Nombre de forces sur les barres	0
Nombre de charges aux nœuds	1
At	Nœud 2
Force horizontale (positive vers la droite) F_x,1	15 kN
Force verticale (positive vers le bas) F_y,1	0 kN
Moment (positif dans le sens horaire) M₁	0 kN·m
Disposition	Cas le plus défavorable
Nombre de charges de température	1
Coefficient de dilatation thermique α_T	10 10⁻⁶/°C
On	Barre 2
Variation uniforme ΔT₁	15 °C
Différence, face droite moins face gauche ΔT_d,1	10 °C
Hauteur de la barre h₁	900 mm
Disposition	Cas le plus défavorable
Vérifier la flèche des barres par rapport à une limite	Oui
Limite : la longueur de la barre divisée par n_lim	300
Vérifier le déplacement horizontal des nœuds	Oui
Limite : la hauteur divisée par n_h	300
Nombre de sections avec leurs propres résultats	1
On	Barre 2
Position, depuis le nœud de début a_S1	5 m

Calcul : Le cadre
Étape	Valeur	Réf.
Largeur et hauteur hors toutd’après les coordonnées des nœuds	B × H = 16.00 × 6.00 m
Inconnues comparées aux équations d’équilibrem = 5 barres, r = 8 réactions (ressorts compris), j = 6 nœuds, c = 1 conditions aux articulationshyperstatique, degré 4 : les efforts dépendent de la rigidité ; les tassements et la température produisent des efforts	3m + r − (3j + c) = 4

Étape	1Barre 1nœud 1 → 2	2Barre 2nœud 2 → 3	3Barre 3nœud 4 → 3	4Barre 4nœud 3 → 5
Longueur l m	6.00	10.00	6.00	6.00
Inclinaison par rapport à l’horizontale α °dans le sens antihoraire depuis l’axe x, du début à la fin	90.0	0.0	90.0	0.0
Rigidité flexionnelle E·I MN·m²entre les goussets	230.4	777.6	230.4	777.6
Rigidité axiale E·A MN	8	12	8	12
Goussets, début / fin a_A / a_B m	·	2.00 / 2.00	·	·
Articulations	—	—	—	—

Étape	5Barre 5nœud 6 → 5	Réf.
Longueur l m	6.00
Inclinaison par rapport à l’horizontale α °dans le sens antihoraire depuis l’axe x, du début à la fin	90.0
Rigidité flexionnelle E·I MN·m²entre les goussets	230.4
Rigidité axiale E·A MN	8
Goussets, début / fin a_A / a_B m	·
Articulations	end

Calcul : Les charges
Étape	Valeur	Réf.
Charge horizontale totale telle que saisiepositive vers la droitesans les charges en disposition la plus défavorable	ΣF_x = 0.0 kN
Charge verticale totale telle que saisiepositive vers le bas	ΣF_y = 480.0 kN
Charges en disposition la plus défavorable, toutes présentes	ΣF_x,var / ΣF_y,var = 42.0 / 320.0 kN

Calcul : La disposition la plus défavorable
Étape	Valeur	Réf.
Charges pouvant chacune être présentes ou absentescharge répartie 3, charge répartie 4, charge répartie 5, charge au nœud 1, charge de température 1	k = 5
Dispositions couvertesN_arr = 2ᵏ ; max = base + Σ (contributions positives), min = base + Σ (contributions négatives)chaque charge est analysée une fois ; à chaque section, les charges qui augmentent la valeur sont additionnées pour le plus grand résultat, celles qui la diminuent pour le plus petit — cela revient aux 2ᵏ combinaisons, avec k + 1 analyses	N_arr = 32

Calcul : Réactions d’appui
Étape	Valeur	Réf.
Équilibre : somme des réactions horizontaleségale à −ΣF_x = -0.00 kNun contrôle de l’analyse (charges telles que saisies)	ΣR_x = 0.00 kN
Équilibre : somme des réactions verticaleségale à ΣF_y = 480.00 kN	ΣR_y = 480.00 kN

Étape	1Nœud 1encastré	4Nœud 4articulé	6Nœud 6encastré
Réaction horizontale, due aux charges telles que saisies R_x kNpositive vers la droite	30.67	-20.86	-9.80
largest R_x,max kN	51.94	-18.81	-9.80
smallest R_x,min kN	-2.80	-40.81	-21.72
Réaction verticale, due aux charges telles que saisies R_y kNpositive vers le haut	170.07	192.66	117.27
largest R_y,max kN	258.88	412.23	170.89
smallest R_y,min kN	155.19	192.66	90.15
Moment de réaction, due aux charges telles que saisies M_R kN·mpositif dans le sens antihoraire	-21.71	·	58.82
largest M_R,max kN·m	53.90	·	130.30
smallest M_R,min kN·m	-57.58	·	58.82

Calcul : Aux nœuds
Étape	1Nœud 1(0.00 ; 0.00)	2Nœud 2(0.00 ; 6.00)	3Nœud 3(10.00 ; 6.00)	4Nœud 4(10.00 ; 0.00)
Maximum : déplacement horizontal u_x,max mmpositive vers la droite	0.00	5.54	6.80	0.00
Minimum : déplacement horizontal u_x,min mm	0.00	2.90	3.07	0.00
Maximum : déplacement vertical w,max mmpositive vers le bas	0.00	0.20	8.32	8.00
Minimum : déplacement vertical w,min mm	0.00	0.12	8.15	8.00
Maximum : rotation θ,max mradpositive dans le sens antihoraire ; aucune à un nœud ne reliant que des extrémités articulées	0.000	-1.796	1.016	-1.009
Minimum : rotation θ,min mrad	0.000	-2.651	0.445	-2.188

Étape	5Nœud 5(16.00 ; 6.00)	6Nœud 6(16.00 ; 0.00)
Maximum : déplacement horizontal u_x,max mmpositive vers la droite	6.79	0.00
Minimum : déplacement horizontal u_x,min mm	3.06	0.00
Maximum : déplacement vertical w,max mmpositive vers le bas	0.13	0.00
Minimum : déplacement vertical w,min mm	0.07	0.00
Maximum : rotation θ,max mradpositive dans le sens antihoraire ; aucune à un nœud ne reliant que des extrémités articulées	2.086	0.000
Minimum : rotation θ,min mrad	1.714	0.000

Calcul : Aux extrémités des barres
Étape	1Barre 1nœud 1 → 2	2Barre 2nœud 2 → 3	3Barre 3nœud 4 → 3	4Barre 4nœud 3 → 5
Maximum : effort normal au début N_i,max kNtraction positive	-155.2	-28.8	-192.7	-9.8
Minimum : effort normal au début N_i,min kN	-258.9	-62.4	-412.2	-21.7
Maximum : effort normal à la fin N_j,max kN	-155.2	-28.8	-192.7	-9.8
Minimum : effort normal à la fin N_j,min kN	-258.9	-62.4	-412.2	-21.7
Maximum : effort tranchant au début V_i,max kNV = dM/dx	2.8	258.9	40.8	157.3
Minimum : effort tranchant au début V_i,min kN	-51.9	155.2	18.8	61.7
Maximum : effort tranchant à la fin V_j,max kN	-19.5	-129.9	40.8	-90.1
Minimum : effort tranchant à la fin V_j,min kN	-56.6	-256.0	18.8	-170.9
Maximum : moment de flexion au début M_i,max kN·mpositif avec traction sur la face droite	57.6	-118.1	0.0	169.9
Minimum : moment de flexion au début M_i,min kN·m	-53.9	-254.0	0.0	-43.6
Maximum : moment de flexion à la fin M_j,max kN·m	-118.1	38.4	244.8	0.0
Minimum : moment de flexion à la fin M_j,min kN·m	-254.0	-269.9	112.9	0.0

Étape	5Barre 5nœud 6 → 5	Réf.
Maximum : effort normal au début N_i,max kNtraction positive	-90.1
Minimum : effort normal au début N_i,min kN	-170.9
Maximum : effort normal à la fin N_j,max kN	-90.1
Minimum : effort normal à la fin N_j,min kN	-170.9
Maximum : effort tranchant au début V_i,max kNV = dM/dx	21.7
Minimum : effort tranchant au début V_i,min kN	9.8
Maximum : effort tranchant à la fin V_j,max kN	21.7
Minimum : effort tranchant à la fin V_j,min kN	9.8
Maximum : moment de flexion au début M_i,max kN·mpositif avec traction sur la face droite	-58.8
Minimum : moment de flexion au début M_i,min kN·m	-130.3
Maximum : moment de flexion à la fin M_j,max kN·m	0.0
Minimum : moment de flexion à la fin M_j,min kN·m	0.0

Calcul : Le long de chaque barre
Étape	1Barre 1nœud 1 → 2	2Barre 2nœud 2 → 3	3Barre 3nœud 4 → 3	4Barre 4nœud 3 → 5
Moment positif maximal M_max kN·m	57.6	462.4	244.8	292.0
sa position a mdepuis le nœud de début	0.00	5.00	6.00	2.63
Moment négatif maximal M_min kN·m	-254.0	-269.9	·	-43.6
sa position a m	6.00	10.00	·	0.00
Effort tranchant maximal \|V\|_max kN	56.6	258.9	40.8	170.9
Traction maximale N_max kN	·	·	·	·
Compression maximale N_min kN	-258.9	-62.4	-412.2	-21.7
Flèche maximale transversale de la barre w_rel mmdepuis la droite passant par ses extrémités déplacées (porte-à-faux : depuis son extrémité appuyée), positive vers la face droite	-2.05	6.12	2.45	1.45
sa position a m	3.63	5.00	3.50	2.88
Flèche relative rapportée à la longueur l/\|w_rel\|	2’928	1’634	2’445	4’138

Étape	5Barre 5nœud 6 → 5	Réf.
Moment positif maximal M_max kN·m	·
sa position a mdepuis le nœud de début	·
Moment négatif maximal M_min kN·m	-130.3
sa position a m	0.00
Effort tranchant maximal \|V\|_max kN	21.7
Traction maximale N_max kN	·
Compression maximale N_min kN	-170.9
Flèche maximale transversale de la barre w_rel mmdepuis la droite passant par ses extrémités déplacées (porte-à-faux : depuis son extrémité appuyée), positive vers la face droite	-1.31
sa position a m	2.50
Flèche relative rapportée à la longueur l/\|w_rel\|	4’595

Calcul : Vérification — flèche de chaque barre
Étape	Valeur	Réf.
Flèche de la barre 1\|w_rel\|_max,1 ≤ l₁/n_lim	η = 0.102 · VérifiéTaux d’utilisation : 10 %
Flèche de la barre 2\|w_rel\|_max,2 ≤ l₂/n_lim	η = 0.184 · VérifiéTaux d’utilisation : 18 %
Flèche de la barre 3\|w_rel\|_max,3 ≤ l₃/n_lim	η = 0.123 · VérifiéTaux d’utilisation : 12 %
Flèche de la barre 4\|w_rel\|_max,4 ≤ l₄/n_lim	η = 0.072 · VérifiéTaux d’utilisation : 7 %
Flèche de la barre 5\|w_rel\|_max,5 ≤ l₅/n_lim	η = 0.065 · VérifiéTaux d’utilisation : 7 %

Calcul : Vérification — déplacement horizontal des nœuds
Étape	Valeur	Réf.
Nœud 2, 6.00 m au-dessus de l’appui le plus bas\|u_x,2\| ≤ h/n_h	η = 0.277 · VérifiéTaux d’utilisation : 28 %
Nœud 3, 6.00 m au-dessus de l’appui le plus bas\|u_x,3\| ≤ h/n_h	η = 0.340 · VérifiéTaux d’utilisation : 34 %
Nœud 5, 6.00 m au-dessus de l’appui le plus bas\|u_x,5\| ≤ h/n_h	η = 0.339 · VérifiéTaux d’utilisation : 34 %

Calcul : Aux sections choisies
Étape	1Section 1barre 2, a = 5.00 m	Réf.
Moment de flexion maximal M_max kN·mpositif avec traction sur la face droite	462.4
Moment de flexion minimal M_min kN·m	235.8
Effort tranchant maximal, avant la section V_max,l kNdu côté du nœud de début	20.1
Effort tranchant minimal, avant la section V_min,l kN	-6.0
Effort tranchant maximal, après la section V_max,r kN	20.1
Effort tranchant minimal, après la section V_min,r kN	-6.0
Effort normal maximal N_max kNtraction positive	-28.8
Effort normal minimal N_min kN	-62.4
Déplacement horizontal maximal u_x,max mmpositive vers la droite	6.07
Déplacement horizontal minimal u_x,min mm	3.08
Déplacement vertical maximal w_max mmpositive vers le bas	10.35
Déplacement vertical minimal w_min mm	7.98

Comment ce module est vérifié

Vérifié à l’aide de calculs indépendants utilisés sur des projets réels, avant sa publication.

Questions

Que m’indique le degré d’hyperstaticité ?

Au-delà de zéro, les efforts dépendent de la rigidité des barres, et les tassements et les variations de température produisent des efforts. Le cadre de l’exemple de calcul est hyperstatique de degré 4 : 5 barres, 8 réactions, 6 nœuds et 1 condition à l’articulation.

Faut-il prendre en compte le raccourcissement axial ?

Pris en compte, chaque barre s’allonge et se raccourcit sous son effort normal, E·A/l : le résultat exact du premier ordre. Négligé, les barres conservent leur longueur, comme dans les méthodes manuelles classiques.

Puis-je imprimer le calcul ?

Le calcul complet s’affiche à l’écran, gratuitement et sans compte. Une note de calcul A4 prête à imprimer est incluse dans l’abonnement Basic.

Voir aussi

Page mise à jour : 14 novembre 2026

Analyse d’un cadre plan

Élément

À propos de cette vérification

Ce qui est vérifié

Ce que vous saisissez et ce que vous obtenez

Hypothèses et limites

Exemple de calcul

Comment ce module est vérifié

Questions

Que m’indique le degré d’hyperstaticité ?

Faut-il prendre en compte le raccourcissement axial ?

Puis-je imprimer le calcul ?

Voir aussi

Élément

À propos de cette vérification

Ce qui est vérifié

Ce que vous saisissez et ce que vous obtenez

Hypothèses et limites

Exemple de calcul

Comment ce module est vérifié

Questions

Que m’indique le degré d’hyperstaticité ?

Faut-il prendre en compte le raccourcissement axial ?

Puis-je imprimer le calcul ?

Voir aussi

Que m’indique le degré d’hyperstaticité ?

Faut-il prendre en compte le raccourcissement axial ?

Puis-je imprimer le calcul ?