Berechnung eines Bogens

Berechnet einen Parabel- oder Kreisbogen, als Dreigelenkbogen, als Zweigelenkbogen, an beiden Kämpfern eingespannt oder mit Zugband, mit konstantem oder veränderlichem Querschnitt: den Horizontalschub, das Biegemoment, die Normal- und die Querkraft und die Verschiebungen unter Eigengewicht, gleichmässig verteilten Lasten und Einzellasten, einer bewegten Kraft, Temperatur und Verschiebungen der Kämpfer. Jeder Schritt zeigt seine Formel.

Was nachgewiesen wird

• Die Achse: das Verhältnis f/l, die Achse y = 4f·x(l − x)/l² für eine Parabel oder der Kreisbogen durch beide Kämpfer und den Scheitel, die Neigung an den Kämpfern und die Länge s der Achse. Die Achse wird mit mindestens 48 geraden Stäben modelliert, deren Knoten auf der Kurve liegen.
• Überzählige: die Auflagerreaktionen r gegenüber 3 Gleichungen. Ein Dreigelenkbogen ist statisch bestimmt; ein Zweigelenkbogen hat eine Überzählige, den Horizontalschub; ein eingespannter Bogen drei.
• Lasten: die vertikale Last wie eingegeben ΣF, ΣF_var für die Lasten in ungünstigster Anordnung, alle vorhanden, die bewegte Kraft P_m und die Verschiebungen Δ_x und Δ_y des Kämpfers B.
• Ungünstigste Anordnung: Eine gleichmässig verteilte Last in ungünstigster Anordnung wird in 48 Teile aufgeteilt, von denen jeder für sich vorhanden ist oder fehlt; die Temperaturänderungen wirken einzeln; die bewegte Kraft steht an ihrem ungünstigsten Knoten. Durch Superposition wird so jede Anordnung exakt erfasst.
• Auflagerkräfte: der Horizontalschub H, nach innen gerichtet, und die vertikale Auflagerkraft R_y, grösster und kleinster Wert, mit der Gleichgewichtskontrolle ΣR_y = ΣF.
• Entlang des Bogens: die Resultate an den gewählten Teilungspunkten der Spannweite, mit x, y und der Neigung φ der Achse an jedem Punkt.
• Durchbiegung, optional: die grösste vertikale Verschiebung der Achse gegenüber l/n_lim.

Was Sie eingeben und was Sie erhalten

Sie geben die Spannweite l zwischen den Kämpfern ein, die Pfeilhöhe f der Achse im Scheitel, eine Parabel oder ein Kreissegment sowie die Lagerung: Dreigelenkbogen, Zweigelenkbogen, an beiden Kämpfern eingespannt oder mit Zugband. Dann E, den Querschnitt entlang des Bogens (konstant, gegen die Kämpfer dicker mit 1/cos φ oder im Scheitel und an den Kämpfern vorgegeben), I_c und A_c im Scheitel und ob sich die Bogenrippe unter ihrer Druckkraft verkürzt.

Für die Lasten: das Eigengewicht g_a pro Meter Bogen, bis zu vier gleichmässig verteilte Lasten, nach unten pro Meter Grundriss, nach unten entlang des Bogens oder horizontal, über die ganze Spannweite oder einen Teil davon, bis zu sechs vertikale Kräfte, eine bewegte Kraft P_m, bis zu zwei Temperaturänderungen mit einem gleichmässigen Anteil und einer Differenz zwischen Unterseite und Oberseite, das Auseinanderweichen Δ_x der Kämpfer und die Setzung Δ_y von B. Dann den Grenzwert der Durchbiegung und die Anzahl Teilungen für die Tabelle.

Sie erhalten die Form, die Auflagerkräfte, die Schnittkräfte und Verschiebungen entlang des Bogens mit ihrer Umhüllenden sowie den Vermerk erfüllt oder nicht erfüllt für die Durchbiegung.

Annahmen und Grenzen

• Ein Bogen trägt seine Lasten hauptsächlich auf Druck. Das Moment in einem Querschnitt ist das Moment des einfachen Balkens, vermindert um H mal die dortige Höhe der Achse; eine Achse, die der Linie ihrer Lasten folgt, die Stützlinie, hat überhaupt keine Biegung.
• Ein Dreigelenkbogen ist statisch bestimmt: Setzungen und Temperatur erzeugen in ihm keine Schnittkräfte.
• Ein Bogen mit Zugband hat an einem Kämpfer ein festes Lager und am anderen ein bewegliches Lager, und ein Zugband nimmt den Horizontalschub auf: Die Auflager erhalten nur vertikale Kräfte.
• Mit berücksichtigter Bogenverkürzung verkürzt sich die Bogenrippe unter N, was den Horizontalschub eines statisch unbestimmten Bogens vermindert. Wird sie vernachlässigt, ist die Bogenrippe dehnstarr, wie in vielen Handformeln.
• Zwei Temperaturänderungen in ungünstigster Anordnung sind Alternativen, ein warmer und ein kalter Tag, nie gleichzeitig angesetzt.
• An einer Kraft werden N und V unmittelbar rechts davon angegeben.
• Nur eine Berechnung: Kein Querschnitt wird nachgewiesen.

Berechnungsbeispiel

Ein parabolischer Zweigelenkbogen von 60 m Spannweite und 10 m Pfeilhöhe, gegen die Kämpfer dicker mit 1/cos φ, mit I_c = 85000·10⁶ mm⁴ und A_c = 1200000 mm² im Scheitel, E = 34000 N/mm², Bogenverkürzung berücksichtigt; Eigengewicht 30 kN/m, 60 kN/m im Grundriss wie eingegeben und 25 kN/m in ungünstigster Anordnung, eine bewegte Kraft von 300 kN, ±20 °C als Alternativen, ein Auseinanderweichen von 5 mm und ein Grenzwert von l/500. Der Nachweis der Durchbiegung ist erfüllt. Die folgenden Resultate sind jene des Moduls für sein Berechnungsbeispiel, berechnet beim Erstellen dieser Seite.

Wie dieses Modul geprüft wird

Vor der Veröffentlichung mit unabhängigen, in realen Projekten verwendeten Berechnungen geprüft.

Fragen

Welche Belastung verbiegt einen Bogen am stärksten?

Die halbseitige Belastung. Setzen Sie die veränderliche Last in ungünstigste Anordnung: Jeder ihrer Teile kann dann vorhanden sein oder fehlen, und die Umhüllende findet die Anordnung für jeden Querschnitt.

Was bewirkt ein nachgebendes Widerlager?

Das Auseinanderweichen der Kämpfer, wobei sich B von A entfernt, vermindert den Horizontalschub eines Zweigelenkbogens oder eines eingespannten Bogens. Es ist in den Resultaten immer enthalten.

Kann ich die Berechnung ausdrucken?

Die vollständige Berechnung erscheint gratis und ohne Konto am Bildschirm. Ein druckfertiger A4-Berechnungsbericht ist im Basic-Abonnement enthalten.

Siehe auch

• Ebener Rahmen
• Seil zwischen zwei Auflagern
• Ebenes Fachwerk
• Gebäude, Tragwerksanalyse: alle Module

Seite aktualisiert: 14. November 2026